【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣1.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:ln < (n∈N*).
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
由題意知f′(x)=a﹣ ≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
所以a≥ ,又y= 在區(qū)間[1,+∞)上遞減,所以 =1,
即實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)
(2)證明:取a=1,由(1)有f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞增,
所以,當(dāng)x>1時,f(x)>f(1)=0即lnx<x﹣1,
因為1+ >1,(n∈N*),
所以ln(1+ )<1+ ﹣1= ,
即ln <
【解析】(1)問題轉(zhuǎn)化為a≥ ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;(2)求出lnx<x﹣1,根據(jù)1+ >1,(n∈N*)證明結(jié)論即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓 : x2+y2+Dx+Ey+3=0 ,圓 關(guān)于直線 x+y-1=0對稱,圓心在第二象限,半徑為 .
(1)求圓 的方程;
(2)已知不過原點(diǎn)的直線 l 與圓 相切,且在 軸、 軸上的截距相等,求直線 l 的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合M={x||x﹣ | },P={x|﹣1≤x≤4},則(UM)∩P等于( )
A.{x|﹣4≤x≤﹣2}
B.{x|﹣1≤x≤3}
C.{x|3<x≤4}
D.{x|3≤x≤4}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x4﹣2x3 , g(x)=﹣4x2+4x﹣2,x∈R.
(1)求f(x)的最小值;
(2)證明:f(x)>g(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D為其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則△DAB的面積S的取值范圍為( )
A.[5,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[2,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚(yáng)民族文化,某校舉行了“我愛國學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計制表,其中成績不低于80分的考生被評為優(yōu)秀生,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計概率,回答下列問題.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 5 | 0.05 |
[60,70) | a | 0.20 |
[70,80) | 35 | b |
[80,90) | 25 | 0.25 |
[90,100) | 15 | 0.15 |
合計 | 100 | 1.00 |
(I)求a,b的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人,求至少一人的成績在[90,100]的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn),若△F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為( )
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+
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