設(shè)
a
，
b
是不共線的兩個非零向量，記
OM
=ma，
ON
=nb，
OP
=αa+βb，其中m，n，α，β均為實數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點共線，則
α
m
+
β
n
=
 
．
考點：基本不等式
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：M、N、P三點共線，則存在實數(shù)λ，使得
MP
=λ
PN
，利用向量的運算可得
OP
=
m
1+λ
a
+
λn
1+λ
b
，由于
a
，
b
不共線，可得
α=
m
1+λ
β=
λn
1+λ
，即可得出．
解答： 解：若M、N、P三點共線，則存在實數(shù)λ，使得
MP
=λ
PN
，
∴
OP
-
OM
=λ(
ON
-
OP
)，
化為(1+λ)
OP
=
OM
+λ
ON
，
∴
OP
=
OM
+λ
ON
1+λ
=
m
1+λ
a
+
λn
1+λ
b
，
∵
a
，
b
不共線，
∴
α=
m
1+λ
β=
λn
1+λ
，
∴
α
m
+
β
n
=
1
1+λ
+
λ
1+λ
=1．
故答案為：1．
點評：本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
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π
3
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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為4，其長軸長和短軸長之比為
3
：1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的右焦點，T為直線x=t（t∈R，t≠2）上縱坐標(biāo)不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．若OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點），求t的值．

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