如圖,已知向量
OA
=
a
OB
=
b
,
OC
=
c
,可構(gòu)成空間向量的一個基底,若
a
=(a1,a1,a3),
b
=(b1,b2,b3),
c
=(c1,c2,c3),在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上,新定義一種運(yùn)算a×b=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1),顯然
a
×
b
的結(jié)果仍為一個向量,記作p.
(1)求證:向量
p
為平面OAB的法向量;
(2)求證:以O(shè)A,OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于|
a
×
b
|;
(3)將四邊形OADB按向量c平移,得到一個平行六面體OADB-CA1D1B1,是判斷平行六面體的體積V與(
a
×
b
)•
c
的大。
考點(diǎn):空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
專題:空間向量及應(yīng)用
分析:(1)由題意,得
p
a
,
p
b
,由此能證明
p
為平面OAB的法向量.
(2)設(shè)
a
,
b
夾角為θ,
a
b
=|
a
|•|
b
|cosθ=a1b1+a2b2+a3b3,SOABD2=(|
a
||
b
|sinθ)2,由此能證明SOABD=|
a
×
b
|.
(3)(
a
×
b
)•
c
=
OC
向量在面OAB法向量上的投影×|
p
|,
p
=
a
×
b
的幾何意義是|
p
|=|
a
|•|
b
|•sin<
a
,
b
>,由此能求出V=|(
a
×
b
)•
c
|.
解答: (1)證明:由題意,得
p
a
=(a1a2b3-a1a3b2,a2a3b1-a1a2b3,a1b2a3-a2b1b3),
因?yàn)椋╝1a2b3-a1a3b2)+(a2a3b1-a1a2b3)+(a1b2a3-a2b1b3)=0,
所以
p
a
,
同理得
p
b
,
因?yàn)?span id="uxpbomo" class="MathJye">
a
b
,且
a
,
b
?平面OAB,
所以
p
為平面OAB的法向量.
(2)證明:設(shè)
a
b
夾角為θ,
a
b
=|
a
|•|
b
|cosθ=a1b1+a2b2+a3b3,
SOABD2=(|
a
||
b
|sinθ)2
=|
a
|2|
b
|2(1-cos2θ)
=|
a
|2|
b
|2-|
a
|2|
b
|2cos2θ
=(
a
×
b
2
所以SOABD=|
a
×
b
|.
(3)(
a
×
b
)•
c
=
OC
向量在面OAB法向量上的投影×|
p
|,
p
=
a
×
b
的幾何意義是|
p
|=|
a
|•|
b
|•sin<
a
,
b
>,
∴|
p
|是底面積,
∴V=|
p
|•
OC
在法向量上投影
=|(
a
×
b
)•
c
|.
點(diǎn)評:本題考查向量
p
為平面OAB的法向量的證明,考查以O(shè)A,OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于|
a
×
b
|的證明,考查平行六面體的體積V與(
a
×
b
)•
c
的大小的判斷,解題時(shí)要注意向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

復(fù)數(shù)z滿足方程|z+
2
1+i
|=4,那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)P組成的圖形為( 。
A、以(1,-1)為圓心,以4為半徑的圓
B、以(1,-1)為圓心,以2為半徑的圓
C、以(-1,1)為圓心,以4為半徑的圓
D、以(-1,1)為圓心,以2為半徑的圓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,
(Ⅰ)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ,將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C2的參數(shù)方程為
x=acosϕ
y=bsinϕ
(a>b>0,φ為參數(shù)).
已知曲線C2上的點(diǎn)M(1,
3
2
)及對應(yīng)的參數(shù)ϕ=
π
3
.求曲線C2的直角坐標(biāo)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1體積為
9
4
,底面是邊長為
3
,若P為底面ABC的中心,則PA1與平面A1B1C1所成角的大小為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=PA=2,CD=4,E,F(xiàn)分別是PC,PD的中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明:EF∥平面PAB;
(Ⅱ) 求直線AC與平面ABEF所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD的邊BC垂直于圓O所在的平面.
(1)求證:AF⊥平面CBF;
(2)設(shè)FC的中點(diǎn)為M,求證:OM∥平面DAF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法:
①命題“?x∈R,2x≤0”的否定是“?x∈R,2x>0”;
②關(guān)于x的不等式a<sin2x+
2
sin2x
恒成立,則a的取值范圍是a<3;
③對于函數(shù)f(x)=
ax
1+|x|
(a∈R且a≠0),則有當(dāng)a=1時(shí),?k∈(1,+∞),使得函數(shù)g(x)=f(x)-kx在R上有三個零點(diǎn);
1
0
1-x2
dx≤
e
1
1
x
dx}
其中正確的是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某廠2013年、2014年某產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別為1000件、1050件,由于技術(shù)條件的改進(jìn),該產(chǎn)品的年產(chǎn)量逐年遞增.若用函數(shù)f(x)=a•bx+c(b>0,且b≠1)模擬該產(chǎn)品的年生產(chǎn)量f(x)與年份x(x∈N*)的關(guān)系,設(shè)2013年為第一年即x=1.
(1)若b=
1
2
,試求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若b>1,由于生產(chǎn)規(guī)模的限制,估計(jì)2015年該產(chǎn)品的生產(chǎn)量不會突破1200件(即生產(chǎn)量≤1200件),試依此估計(jì)求出a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用黑、藍(lán)2種顏色給如圖所示的笑臉涂色,每個圖形只能涂一種顏色,則兩只眼睛(即圖中A、B所示的區(qū)域)涂同種顏色而鼻子和嘴巴涂不同顏色的概率為
 

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同步練習(xí)冊答案