Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，求出a，b，c的值，然后設(shè)P的坐標(biāo)，根據(jù)PF₁•PF₂的表達(dá)式，按照一元二次函數(shù)求最值方法求解．
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，與已知橢圓聯(lián)立方程組，運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出根的關(guān)系，求出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意易知
所以，
設(shè)P（x，y），
則=
因?yàn)閤∈[-2，2]，
故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，
有最小值-2
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，
有最大值1

（Ⅱ）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，
可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消去y，整理得：
∴
由得：或，
又
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
==
∵，
即k²＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力．本題為中檔題，需要熟練運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理．