Question

已知函數(shù)f（x）=asin²x+bsinxcosx滿足f(

π

6

)=f(

3π

2

)=2
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值以及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）記g（x）=f（x+t），若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知解a，b的值，從而可求函數(shù)解析式為：f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由周期公式即可求解．
（2）由（1）先求得g（x），由函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，可得sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]，即有cos(2t-

π

6

)=0，從而解得實(shí)數(shù)t的值．

解答： 解：（1）由

f( π 6 )=2 f( 3π 2 )=2

得，

a+ 3 b=8 a=2

解得

a=2 b=2 3

…（3分）
將a=2，b=4

3

代入f（x）=asin²x+bsinxcosx
得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx
所以f（x）=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)…（5分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）由（1）得f(x+t)=2sin[2(x+t)-

π

6

]+1，
所以g(x)=2sin(2x+2t-

π

6

)+1…（8分）
函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，均有g(shù)（-x）=g（x）成立．
所以sin[(2t-

π

6

)+2x]=sin[(2t-

π

6

)-2x]
整理得，cos(2t-

π

6

)sinx=0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x均成立，
只有cos(2t-

π

6

)=0，解得2t-

π

6

=kπ+

π

2

，
所以t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．