Question

已知P是拋物線x²=2py（p＞0）上的動點，P到拋物線焦點的距離比到x軸的距離大1．
（1）求該拋物線的方程；
（2）如圖，C，D是y軸正半軸上的兩個不同的點，直線PC，PD分別交拋物線于另外一點G，H，作直線GH的平行線l與拋物線相切，切點為Q，求證：△PCQ與△PDQ的面積相等．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由P到拋物線焦點的距離比到x軸的距離大1，可得

p

2

=1，解得p即可得出．
（2）設P（x₁，y₁），G（x₂，y₂），H（x₃，y₃），Q（s，t），k_PG=k₁，k_PH=k₂．PQ與y軸的交點為M．直線PG的方程為：y-y₁=k（x-x₁），y1=

x 2 1

4

．與拋物線的方程聯(lián)立可得x2-4k1x+4k1x1-

x

2 1

=0，可得x₂=4k₁-x₁，x₃=4k₂-x₁．由于k_GH=

x3+x2

4

．由x²=4y，利用導數可得y′|_x=s=

1

2

s．因此

x2+x3

4

=

1

2

s，可得2k₁+2k₂-x₁=s．直線PQ的方程為：y-

x 2 1

4

=

s+x1

4

(x-x1)，可得y_M=-

sx1

4

=-

x1

4

（2k₁+2k₂-x₁）．分別求出直線PG，PH與y軸的交點，只要證明

yC+yD

2

=y_M即可證明．

解答： 解：（1）∵P到拋物線焦點的距離比到x軸的距離大1，
∴

p

2

=1，解得p=2．
∴該拋物線的方程為x²=4y；
（2）設P（x₁，y₁），G（x₂，y₂），H（x₃，y₃），Q（s，t），k_PG=k₁，k_PH=k₂．PQ與y軸的交點為M．
直線PG的方程為：y-y₁=k（x-x₁），y1=

x 2 1

4

．
聯(lián)立

y- x 2 1 4 =k1(x-x1) x2=4y

，化為x2-4k1x+4k1x1-

x

2 1

=0，
∴x₁+x₂=4k₁，
∴x₂=4k₁-x₁．
同理可得：x₃=4k₂-x₁．
k_GH=

y3-y2

x3-x2

=

x 2 3 4 - x 2 2 4

x3-x2

=

x3+x2

4

．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x，
∴y′|_x=s=

1

2

s．
由題意可得：

x2+x3

4

=

1

2

s，
∴x₂+x₃=2s．
∴4k₁+4k₂-2x₁=2s，
∴2k₁+2k₂-x₁=s．
直線PQ的方程為：y-

x 2 1

4

=

s2 4 - x 2 1 4

s-x1

(x-x1)，
化為y-

x 2 1

4

=

s+x1

4

(x-x1)，
令x=0，解得y_M=-

sx1

4

=-

x1

4

（2k₁+2k₂-x₁）．
由直線PG的方程：y-

x 2 1

4

=k1(x-x1)，
令x=0，可得y_C=

x 2 1

4

-k1x1，
同理可得y_D=

x 2 1

4

-k1x1．
∴

yC+yD

2

=-

x1

4

(2k1+2k2-x1)．
∴直線PQ與y軸的交點M為線段CD的中點，
∴△PCQ與△PDQ的面積相等．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得出根與系數的關系、中點坐標公式、三角形的面積之比、斜率計算公式、利用導數研究切線的斜率，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．