Question

9．已知曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{y=sinθ}\\{x=2cosθ}\end{array}\right.$（其中參數(shù)θ∈[0，π]），直線l：y=x+b．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程并指出它的軌跡；
（Ⅱ）若曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）對于曲線C：利用sin²θ+cos²θ=1即可把參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)θ∈[0，π]，可得0≤y≤1，它的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的上半橢圓．
（II）對b分類討論：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，b=-2，此時(shí)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，b=2，此時(shí)直線l與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)-2≤b＜2時(shí)，滿足直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線y=x+b與橢圓相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答 解：（I）對于曲線C：∵sin²θ+cos²θ=1，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，∵θ∈[0，π]，∴sinθ∈[0，1]，∴0≤y≤1，
∴曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，0≤y≤1，它的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的上半橢圓．
（II）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，b=-2，此時(shí)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）時(shí)，b=2，
此時(shí)直線l與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)-2≤b＜2時(shí)，滿足直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)直線y=x+b與橢圓相切，
把y=x+b代入橢圓方程可得：x²+4（x+b）²=4，
化為5x²+8bx+4b²-4=0．
令△=64b²-20（4b²-4）=0，
解得b=$\sqrt{5}$$（-\sqrt{5}舍去）$，此時(shí)直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上可得：b∈[-2，2）∪$\{\sqrt{5}\}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程用、直線與橢圓相交相切問題，考查了數(shù)形結(jié)合方法、分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．