15．已知集合A={x||x-a|＜4}，B={x|x2-4x-5＞0}
（1）若A∪B=R，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）縣否存在實數(shù)a，使得A∩B=∅？若存在，則求a的取值范圍，否則，說明理由．

分析 由|x-a|＜4，解得A=（a-4，a+4）．由x2-4x-5＞0，B=（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（1）由A∪B=R，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-4＜-1}\\{a+4＞5}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）假設存在實數(shù)a，使得A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{a-4≥-1}\\{a+4≤5}\end{array}\right.$，解得a即可判斷出結論．

解答 解：由|x-a|＜4，∴-4＜x-a＜4，解得a-4＜x＜a+4，∴A=（a-4，a+4）．
由x2-4x-5＞0，解得x＞5，或x＜-1．∴B=（-∞，-1）∪（5，+∞）．
（1）∵A∪B=R，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4＜-1}\\{a+4＞5}\end{array}\right.$，解得1＜a＜3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，3）．
（2）假設存在實數(shù)a，使得A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{a-4≥-1}\\{a+4≤5}\end{array}\right.$，解得a∈∅，
因此假設不成立，∴不存在實數(shù)a，使得A∩B=∅．

點評 本題考查了不等式的解法、集合之間的運算關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知x，y∈R，向量α=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$是矩陣A=$[\begin{array}{l}{-1}&{x}\\{y}&{0}\end{array}]$的屬于特征值-2的一個特征向量．
（1）求矩陣A以及它的另一個特征值；
（2）求曲線F：9x2-2xy+y2=1在矩陣A對應的變換作用下得到的曲線F′的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．在平面直角坐標xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓O的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l與圓O相交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）外一點P（x0，y0），求證：方程（$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$-1）（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$-1）=（$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$-1）2表示過點P的橢圓的兩條切線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，g（x）=x2-2x+b，當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）與g（x）有兩個交點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\frac{5}{4^2}+…+\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（?n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+2ax+$\frac{1}{x}$，（a∈R），函數(shù)h（x）=px-$\frac{p+2e-1}{x}$（其中e=2.718…）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1處的切線的傾斜角為$\frac{π}{4}$，在區(qū)間[1，e]至少存在一個x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{y=sinθ}\\{x=2cosθ}\end{array}\right.$（其中參數(shù)θ∈[0，π]），直線l：y=x+b．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程并指出它的軌跡；
（Ⅱ）若曲線C與直線l只有一個公共點，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2+a在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2x-1}{x}$（a∈R），g（x）=x2emx（m∈R），e=2.71828…）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線4x-y=0垂直，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，且m∈[-2，-1]，求證：對任意x1、x2∈[1，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立．

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