Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），a₃=5，其前7項(xiàng)和為42，設(shè)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=a₁-1，b₂=a₄
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=1+log₃$\frac{_{n}}{2}$，d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）c_n=1+log₃$\frac{_{n}}{2}$=n，d_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（a∈N^*），∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
∵a₃=5，其前7項(xiàng)和為42，∴a₁+2d=5，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=42，
解得a₁=3，d=1．∴a_n=3+（n-1）=n+2．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁=a₁-1=2，b₂=a₄=6，∴q=3．
∴b_n=2×3^n-1．
（2）c_n=1+log₃$\frac{_{n}}{2}$=n，
d_n=$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)原式性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．