Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）在區(qū)間（1，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）f′（x）_max=f′（1）=0，從而f′（x）≤0，得函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)遞減；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，表示點(diǎn)（p+1，f（p+1））與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，得f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）內(nèi)恒成立，得g（x）在（2，e）遞減，在（e，3）遞增，得2a≥-

ln2

2

，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

x²+xlnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=-x+1+lnx，
令F（x）=f′x），F(xiàn)′（x）=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，f′（x）在（0，1）遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，f′（x）在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）_max=f′（1）=0，從而f′（x）≤0，
∴函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)遞減；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，
表示點(diǎn)（p+1，f（p+1））與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，
又1＜p＜2，1＜q＜2，2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，
即函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（2，3）上的任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，
即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）內(nèi)恒成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，2a＞-

lnx

x

恒成立，
設(shè)g（x）=-

lnx

x

，x∈（2，3），則g′（x）=

lnx-1

x2

，
若g′x）=

lnx-1

x2

=0，則x=e，
當(dāng)2＜x＜e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）遞減，
當(dāng)e＜x＜3時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）遞增，
又g（2）=-

ln2

2

＞g（3），
∴2a≥-

ln2

2

，
∴a≥-

ln2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．