Question

下列命題中：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰直角三角形；
②奇函數(shù)f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)減函數(shù)．
③如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b＞c，則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；
④設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n為復(fù)數(shù)isin 

nπ

2

+cos

nπ

2

（n∈N^*）的虛部，則S₂₀₁₄=1
⑤復(fù)數(shù)z₁，z₂，若（z₁-z_2）²+（z₂-z₃）²=0 則z₁=z₂=z₃；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：常規(guī)題型,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①兩個(gè)角的正弦值相等，這兩個(gè)角可能相等，也可能互補(bǔ)；
②根據(jù)奇函數(shù)，求出m，n的值，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
③利用放縮法直接證明不等式；
④根據(jù)數(shù)列{a_n}是周期性數(shù)列求和；
⑤舉反例，z₁=1+2i，z₂=1+i，z₃=2+i，驗(yàn)證．

解答： 解：對(duì)于①，由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故①不正確；
對(duì)于②，由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)得m=1，n=0，所以f（x）=x³-48x．
由f′（x）=3x²-48＜0得：-4＜x＜4，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)減函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，對(duì)于③，如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b＞c，
則

a

1+a

+

b

1+b

＞

a

1+a+b

+

b

1+a+b

=

a+b

1+a+b

，
∵a+b＞c，∴a+b+ac+bc＞c+ac+bc，即（a+b）（1+c）＞c（1+a+b）
∴

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

，則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

，故③正確；
對(duì)于④，an=sin

nπ

2

，S₂₀₁₄=1+0+（-1）+0+1+0+（-1）+0+…=1，故④正確；
對(duì)于⑤，z₁=1+2i，z₂=1+i，z₃=2+i，則（z₁-z₂）²+（z₂-z₃）²=i²+1²=0，這時(shí)z₁≠z₂≠z₃，故⑤不正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的形式考查了三角函數(shù)、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的證明、復(fù)數(shù)等，涉及的知識(shí)面比較廣，對(duì)于⑤，特別要注意在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的結(jié)論在復(fù)數(shù)中不一定成立．