Question

10．已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1．
（1）若對于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
變式1：將（1）變?yōu)椋喝舨坏仁絤x²-mx-1＜0對m∈[1，2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
變式2：將（2）中條件“f（x）＜5-m恒成立”改為“f（x）＜5-m無解”，如何求m的取值范圍．
變式3：將（2）條件“f（x）＜5-m恒成立”改為“存在x，使f（x）＜5-m成立”，如何求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論m=0，m＜0且判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，由恒成立思想，可得m的范圍；
變式1：構(gòu)造一次函數(shù)，由單調(diào)性，即可得到x的范圍；
變式2：由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，由無解的條件，可得m的范圍；
變式3：由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，由存在性問題的解法，可得m的范圍．

解答 解：（1）對于x∈R，f（x）＜0恒成立，
即有m=0時，-1＜0恒成立；
當(dāng)m＜0，且判別式△＜0即為m²+4m＜0，
解得-4＜m＜0，
綜上可得，m的范圍是（-4，0]；
（2）對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]恒成立，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$，
即有m＜$\frac{6}{7}$，即m的范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）；
變式1：不等式mx²-mx-1＜0對m∈[1，2]恒成立，
即有f（m）=m（x²-x）-1＜0在[1，2]恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1＜0}\\{2{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
變式2：對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m無解，
即為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]無解，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$，最大值為6，
可得m≥6；
變式3：存在x，使f（x）＜5-m成立，即為
m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在[1，3]有解，
由x²-x+1∈[1，7]，可得$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$，最大值為6，
可得m＜6．
即為m的取值范圍是（-∞，6）．

點評 本題考查不等式恒成立與存在性，以及無解的問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的圖象，屬于中檔題和易錯題．