【題目】已知矩形的長(zhǎng),寬,將其沿對(duì)角線折起,得到四面體,
如圖所示,給出下列結(jié)論:
①四面體體積的最大值為;
②四面體外接球的表面積恒為定值;
③若分別為棱的中點(diǎn),則恒有且;
④當(dāng)二面角為直二面角時(shí),直線所成角的余弦值為;
⑤當(dāng)二面角的大小為時(shí),棱的長(zhǎng)為.
其中正確的結(jié)論有____________________(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
【答案】②③④
【解析】
對(duì)于①四面體體積最大為兩個(gè)面互相垂直,四面體體積的最大值為,故不正確;②三棱錐外接球的半徑為,所以三棱錐外接球的表面積為,②正確;③若為分別棱的中點(diǎn),連接,則,根據(jù)等腰三角形三線合一得到,連接,容易判斷,得到,所以,所以③正確;④二面角為直二面角時(shí),以為原點(diǎn)所在直線分別為軸,則由向量的數(shù)量積可以得到直線所成角的余弦值為,所以④正確;
⑤當(dāng)二面角的大小為時(shí),棱的長(zhǎng)為,在直角三角形中,
,作,則,同理直角三角形中,則,在平面內(nèi),過(guò)作,且,連接,易得四邊形為矩形,則,又,即有為二面角的平面角,且為,即,由平面,得到,即有,則,故⑤錯(cuò)誤,故答案為②③④.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中, 的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中, 的極坐標(biāo)方程.
(Ⅰ)說(shuō)明是哪種曲線,并將的方程化為普通方程;
(Ⅱ)與有兩個(gè)公共點(diǎn),頂點(diǎn)的極坐標(biāo),求線段的長(zhǎng)及定點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為 .
(1)化曲線的參數(shù)方程為普通方程,化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;
(2)直線(為參數(shù))過(guò)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn),求與直線平行且與曲線相切的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則
( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3 C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在,使得(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】表示一位騎自行車(chē)和一位騎摩托車(chē)的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:
①騎自行車(chē)者比騎摩托車(chē)者早出發(fā)3 h,晚到1 h;
②騎自行車(chē)者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車(chē)者是勻速運(yùn)動(dòng);
③騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車(chē)者;
④騎摩托車(chē)者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車(chē)者速度一樣.
其中,正確信息的序號(hào)是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),求的值;
(2)用定義證明在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增;
(3)若值域?yàn)?/span>,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2有>a恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此做了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
零件的個(gè)數(shù)x/個(gè) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時(shí)間y/h | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并在坐標(biāo)系中畫(huà)出回歸直線;
(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間.
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