Question

如圖，已知四邊形與均為正方形，平面平面.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）要證直線與平面垂直，只須證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直或證明這條直線是兩垂直平面中一個平面內(nèi)的一條直線，且這條直線垂直于這兩個平面的交線即可.本題屬于后者，由平面平面且交線為，而且平面，所以問題得證；（2）解決空間角最有效的工具是向量法，先以點為坐標(biāo)原點，利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，為計算的方便，不妨設(shè)正方形的邊長為1，然后標(biāo)出有效點與有效向量的坐標(biāo)，易知平面的法向量為，再利用待定系數(shù)法求出另一平面的法向量，接著計算出這兩個法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計算出的余弦值，確定二面角的大小即可.
試題解析：(1)因為平面平面，且平面平面
又因為四邊形為正方形，所以
因為平面，所以平面       4分
(2)以為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則
所以平面的法向量為   5分
設(shè)平面的法向量為
因為
由得即
令，則       6分
因為
所以二面角的大小為       8分.