Question

已知函數(shù)f(x)=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R，
（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），
當(dāng)時(shí)，，
令f′(x)=0，解得，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ），顯然x=0不是方程的根，
為使f(x)僅在x=0處有極值，必須成立，
即有，解不等式，得，
這時(shí)，f(0)=b是唯一極值；
因此滿足條件的a的取值范圍是。
（Ⅲ）由條件a∈[-2，2]，可知，
從而恒成立，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0，
因此函數(shù)f(x)在[-1，1]上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者，
為使對(duì)任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即在a∈[-2，2]上恒成立，所以b≤-4，
因此滿足條件的b的取值范圍是．