Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出

OE

 和

PF

 的坐標(biāo)，由

OE

=-

1

2

PF

 可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC． 
（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，直線CB與平面PDC所成角θ，求出一個法向量為

n

=(

2

，0，1)，又

CB

=(-2，-2，0)，可得 

n

和 

CB

 夾角的余弦值，即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)F為DC的中點(diǎn)，連接BF，則DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四邊形ABFD為正方形．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴O為AF，BD的交點(diǎn)，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵BD=

AD2+AB2

=2

2

，∴PO=

PB2-BO2

=

2

，AO=

1

2

BD=

2

，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．    …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），
P(0，0，

2

)，E(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)．
則

OE

=(-

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，

PF

=(1，1，-

2

)，

PD

=(1，-1，-

2

)，

PC

=(1，3，-

2

)．
∴

OE

=-

1

2

PF

，∴OE∥PF，∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，∴OE∥平面PDC．   …（9分）

（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，直線CB與平面PDC所成角θ，
則

n •PC =0 n •PD =0

，即

x1+3y1- 2 z1=0 x1-y1- 2 z1=0

，解得

y1=0 x1= 2 z1

，令z₁=1，
則平面PDC的一個法向量為

n

=(

2

，0，1)，又

CB

=(-2，-2，0)，
則sinθ=|cos＜

n

，

CB

＞|=

2 2

3 ×2 2

=

3

3

，∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為

3

3

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．