Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g（x）=(

1

2

)x-m，P={m|任意x₁，x₂∈（{0，2}），f（x₁）≥g（x₂）}，Q={m|任意x₁∈（0，2），存在x₂∈（0，2），f（x₁）≥g（x₂）}，則P∩Q=

 

$\end{array}$．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,交集及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：求出函數(shù)f（x），g（x）的值域，根據(jù)恒成立以及存在條件的等價(jià)條件轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f(x)=ln?x-

1

4

x+

3

4x

-1，
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

-x2+4x-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，3）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（3，+∞）；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值為f（1）=-

1

2

，
∵g（x）=（

1

2

）^x-m在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴

1

4

-m＜g（x）＜1-m．
則集合P滿足1-m≤-

1

2

，即m≥

3

2

，即P={m|m≥

3

2

}，
由于“對(duì)任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈（0，2），使f（x₁）≥g（x₂）”，
等價(jià)于“g（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值不大于f（x）在區(qū)間（0，2）上的最小值-

1

2

”
即

1

4

-m＜-

1

2

，
∴m＞

3

4

，即Q={m|m＞

3

4

}，
∴則P∩Q={m|m≥

3

2

}，
故答案為：[

3

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，注意恒成立與存在性問(wèn)題之間的區(qū)間．