Question

1．已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）對(duì)?x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令導(dǎo)數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可．
（2）由于f（x）≥bx-2恒成立，得到b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，b≤g（x）_min即可

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函數(shù)y=f（x）的極小值為f（1）=0；
（2）依題意對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立
等價(jià)于x-1-lnx≥bx-2在（0，+∞）上恒成立
可得b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=e²
列表：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	1-$\frac{1}{{e}^{2}}$	↗

∴函數(shù)y=g（x）的最小值為g（e2）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于中檔題．