Question

（2012•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x+

π

2

）=g（x），且當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，g（x）=

1

2

-f（x），求g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析：利用兩角和的余弦函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達(dá)式，
（1）直接利用周期公式求解即可．
（2）求出函數(shù)g（x）的周期，利用x∈[0，

π

2

]時，g（x）=

1

2

-f（x），對x分類求出函數(shù)的解析式即可．

解答：解：函數(shù)f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x
=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

（1-cos2x）=

1

2

-

1

2

sin2x．
（1）函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時g（x）=

1

2

-f(x)=

1

2

sin2x．
當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+

π

2

）=

1

2

sin2（x+

π

2

）=-

1

2

sin2x．
當(dāng)x∈[-π，-

π

2

）時，x+π∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+π）=

1

2

sin2（x+π）=

1

2

sin2x．
g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式：g（x）=

- 1 2 sin2x    x∈[ - π 2 ，0] 1 2 sin2x       x∈ [-π，- π 2 )

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的化簡，考查計算能力．