Question

4．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中，且AD∥BC，AD=DC=1，$SA=SC=SD=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱錐B-SAD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)O為AC的中點，連接OS，OD，推導(dǎo)出OS⊥AC，DO⊥AC，從而AC⊥平面SOD，由此能證明AC⊥SD．
（Ⅱ）三棱錐B-SAD的體積V_B-SAD=V_S-BAD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)O為AC的中點，連接OS，OD，
∵SA=SC，∴OS⊥AC，
∵DA=DC，∴DO⊥AC，
又OS，OD?平面SOD，且OS∩DO=O，AC⊥平面SOD，
又SD?平面SOD，∴AC⊥SD．…（6分）
解：（Ⅱ）∵O為AC的中點，在直角△ADC中，DA²+DC²=2=AC²，
則$AC=\sqrt{2}，OD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在△ASC中，∵$SA=SC=\sqrt{2}$，O為AC的中點，
∴△ASC為正三角形，且$AC=\sqrt{2}，OS=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∵在△SOD中，OS²+OD²=SD²，∴△SOD為直角三角形，且∠SOD=90°，
∴SO⊥OD，又OS⊥AC，且AC∩DO=O，
∴SO⊥平面ABCD．…（10分）
∴三棱錐B-SAD的體積：
V_B-SAD=V_S-BAD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BAD}×SO$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×CD×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想．