已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的圖象過點P( 1,2),且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直.
(1)若c∈[0,1),試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,試求n-m-2c的范圍.

解:由f(x)=ax3+bx2+c的圖象過點P(-1,2)可知:-a+b+c=2①,
又f′(x)=3ax2+2bx,因為f(x)點P處的切線與直線x-3y=0垂直,
所以f′(-1)=3a-2b=-3②,
聯(lián)立①②解得:a=1-2c,b=3-3c,
則f′(x)=3(1-2c)x2+6(1-c)x,
(i)當c∈[0,)時,1-2c>0,
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-<0,
顯然,當x>0或x<-時,f′(x)>0;當-<x<0時,f′(x)<0,
所以當c∈[0,)時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-)和(0,+∞),
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-);
(ii)當a∈(,1)時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,+∞)和(-∞,0),
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,-);
(2)當a>0,b>0時,令f′(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b)=0,解得:x=0或x=-<0,
由(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,得到m=-,n=0,
又a=1-2c>0,b=3-3c>0,得到c<,即1-2c>0,
則n-m-2c=-2c=-2c=+(1-2c)≥2,當且僅當1-2c=即c=0或1時取等號,
所以n-m-2c的范圍是[2,+∞).
分析:(1)把點P的坐標代入f(x)中,得到a,b及c的關(guān)系式,記作①,求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),又函數(shù)在P處的切線與直線x-3y=0垂直,得到切線的斜率為-3,所以把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)值等于-3,列出關(guān)于a,b及c的另一關(guān)系式,記作②,聯(lián)立①②,利用c表示出a與b,代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)與c有關(guān),然后根據(jù)c的范圍,分c大于等于0小于和c大于等于小于1兩種情況,討論導(dǎo)函數(shù)的正負進而得到相應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a與b群毆大于0時,得到導(dǎo)函數(shù)等于0時x的兩個值,根據(jù)(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,得到m與n關(guān)于a與b的關(guān)系式,根據(jù)(1)中用c表示的a與b代入所求的式子中,得到關(guān)于c的關(guān)系式,化簡后,由a與b都大于0解出c的取值范圍,利用基本不等式即可求出所求式子的范圍.
點評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,會利用基本不等式求函數(shù)的最小值,是一道中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
)>3

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