Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點P（ 1，2），且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（1）若c∈[0，1），試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，試求n-m-2c的范圍．

Answer 1

解：由f（x）=ax³+bx²+c的圖象過點P（-1，2）可知：-a+b+c=2①，
又f′（x）=3ax²+2bx，因為f（x）點P處的切線與直線x-3y=0垂直，
所以f′（-1）=3a-2b=-3②，
聯(lián)立①②解得：a=1-2c，b=3-3c，
則f′（x）=3（1-2c）x²+6（1-c）x，
（i）當c∈[0，）時，1-2c＞0，
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=-＜0，
顯然，當x＞0或x＜-時，f′（x）＞0；當-＜x＜0時，f′（x）＜0，
所以當c∈[0，）時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-）和（0，+∞），
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，-）；
（ii）當a∈（，1）時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-，+∞）和（-∞，0），
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，-）；
（2）當a＞0，b＞0時，令f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b）=0，解得：x=0或x=-＜0，
由（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，得到m=-，n=0，
又a=1-2c＞0，b=3-3c＞0，得到c＜，即1-2c＞0，
則n-m-2c=-2c=-2c=+（1-2c）≥2，當且僅當1-2c=即c=0或1時取等號，
所以n-m-2c的范圍是[2，+∞）．
分析：（1）把點P的坐標代入f（x）中，得到a，b及c的關(guān)系式，記作①，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，又函數(shù)在P處的切線與直線x-3y=0垂直，得到切線的斜率為-3，所以把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)值等于-3，列出關(guān)于a，b及c的另一關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②，利用c表示出a與b，代入導(dǎo)函數(shù)中得到導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)與c有關(guān)，然后根據(jù)c的范圍，分c大于等于0小于和c大于等于小于1兩種情況，討論導(dǎo)函數(shù)的正負進而得到相應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a與b群毆大于0時，得到導(dǎo)函數(shù)等于0時x的兩個值，根據(jù)（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，得到m與n關(guān)于a與b的關(guān)系式，根據(jù)（1）中用c表示的a與b代入所求的式子中，得到關(guān)于c的關(guān)系式，化簡后，由a與b都大于0解出c的取值范圍，利用基本不等式即可求出所求式子的范圍．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，會利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．