Question

12．已知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，即S_n=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$．n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$=S_n-S_n-1，可得：a_n．n=1時(shí)a₁=$\frac{4}{5}$，對于上式也成立．可得a_n
（2）利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，即S_n=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$．
∴n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$=S_n-S_n-1=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$-$（4-\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}）$，
可得：a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$．
n=1時(shí)a₁=4-$\frac{{4}^{2}}{5}$=$\frac{4}{5}$，對于上式也成立．
∴a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$，n∈N*；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{4}{5}$+3×$（\frac{4}{5}）^{2}$+5×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$．
∴$\frac{4}{5}$T_n=$（\frac{4}{5}）^{2}$+3×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-3）•$（\frac{4}{5}）^{n}$+（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$．
∴$\frac{1}{5}$T_n=$\frac{4}{5}$+2×$[（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{3}$+…+$（\frac{4}{5}）^{n}]$-（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$=$\frac{4}{5}$+2×$\frac{\frac{16}{25}[1-（\frac{4}{5}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{5}}$-（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$．
可得T_n=36-（8n+36）×$（\frac{4}{5}）^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推公式、錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．