Question

已知函數(shù)和h（x）=1-ax，其中a≤1且a≠0，設(shè)f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）若a=1，求g（x）在（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有一解，求實數(shù)a的取值情況．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a=1時，確定切點的坐標(biāo)，求得切線斜率，利用點斜式，即可得到切線方程；
（Ⅱ） 求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：（i）a＜0，可得函數(shù)在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0，從而可得f（x）在x=1處取得極小值，由f（x）=0恰有1解，可得f（1）=0，從而可求a的值；
（ii）當(dāng)0＜a＜1時，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值，從而可得0＜a＜1滿足f（x）=0恰有一解成立；
（iii）當(dāng)a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＜0，f（4）＞0，滿足條件．
解答：解：（Ⅰ）a=1時，，
所以g（x）在處的切線斜率
則過的切線方程為，即所求切線方程為…（4分）
（Ⅱ）=，f（x）定義域為（0，+∞）
所以…（6分）
（i）若a＜0，令f′（x）=0，可得x=1
因為在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0
所以f（x）在x=1處取得極小值
即
由f（x）=0恰有1解，則f（1）=0，即，解得…（8分）
（ii）當(dāng)0＜a＜1時，x，f′（x），f（x）在（0，+∞）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
y′	+		-		+
y	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表可知，f（x）在x=1處取得極小值
由上表得f（x）在x=a處取得極大值
所以0＜a＜1滿足f（x）=0恰有一解成立
即0＜a＜1滿足條件…（10分）
（iii）當(dāng)a=1時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＜0，f（4）＞0
所以，a=1滿足條件…（11分）
綜上，若f（x）=0恰有一解，實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1或…（12分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．