Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形， ， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件，證明，得到平面，即可證明；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，即可利用向量所成的角，得出直線與平面所成的角.

試題解析：（Ⅰ）連接，因?yàn)閭?cè)面與側(cè)面都是菱形，

，所以都是等邊三角形.

取的中點(diǎn)，連接，則，

又平面， ，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（Ⅱ）在中， ，若，則有，

所以，

由（Ⅰ）有平面，

以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ．

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

整理，得

令，得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

所以直線與平面所成的角的正弦值為.