Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）

（2）解： ， ，

①當(dāng)a=0時(shí)，由（1）知f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2，

②當(dāng) 時(shí)， ，在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；

故f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，

故在（0，2]上f（x）max=f（2）=2ln2﹣2a﹣2，

③當(dāng) 時(shí)， ，在區(qū)間 上，f'（x）＞0；

在區(qū)間 上，f'（x）＜0，

f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

故在（0，2]上

【解析】（1）a=0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．