Question

已知橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F為圓x²＋y²＋2x＝0的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為－1.

(1)求橢圓方程；

(2)已知經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)，證明：·為定值．

Answer 1

解　(1)化圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)²＋y²＝1，

則圓心為(－1,0)，半徑r＝1，所以橢圓的半焦距c＝1.

又橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為－1，所以a－c＝－1，即a＝.

故所求橢圓的方程為＋y²＝1.

(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝－1.

可求得

此時(shí)，·＝＝－.

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，

由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/16/14/2014101614283775572810.files/image168.jpg'>·＝＋y₁y₂

＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋²＋k(x₁＋1)·k(x₂＋1)

＝(1＋k²)x₁x₂＋ (x₁＋x₂)＋k²＋

＝(1＋k²)·＋k²＋

＝＋＝－2＋＝－.

所以，·為定值，且定值為－.