Question

集合A={（x，y）|（x-）²+（y+1）²≤4}，集合B（m）={（x，y）|y=x²-2mx+m²+2m}，m∈R，設(shè)集合B是所有B（m）的并集，則A∩B的面積為________．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，拋物線y=x²-2mx+m²+2m頂點為A（m，2m），在直線y=2x上運動．由拋物線方程知它的開口向上且形狀確定，結(jié)合拋物線的性質(zhì)得定直線y=2x+與拋物線b相切，利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線算出定直線y=2x-1與拋物線y=x²-2mx+m²+2m相切．因此，可得集合B對應(yīng)的圖形是切線y=2x-1左上方區(qū)域，而集合A表示以C（，-1）為圓心半徑為2的圓及其內(nèi)部，它們相交構(gòu)成的圖形是如圖的弓形，再結(jié)合直線與圓的方程不難算出A∩B對應(yīng)圖形的面積．
解答：∵拋物線方程為y=x²-2mx+m²+2m
∴拋物線的頂點為A（m，2m），且點A在直線y=2x上運動
又∵拋物線的二次項系數(shù)a=1，
∴拋物線的開口向上且形狀確定，結(jié)合頂點A在定直線y=2x上運動，
可得拋物線與定直線y=2x+b相切，
由y'=2x-2m=2，得切點（1+m，1+2m）
代入切線方程得：1+2m=2（1+m）+b，解之得b=-1，得拋物線定直線y=2x-1相切．
∵集合B是所有B（m）的并集，
∴集合B對應(yīng)的圖形是拋物線y=x²-2mx+m²+2m運動形成的軌跡，
由此得到如圖所示的直線y=2x-1左上方區(qū)域
又∵集合A={（x，y）|（x-）²+（y+1）²≤4}，
表示以C（，-1）為圓心半徑為2的圓及其內(nèi)部
∴集合A∩B的對應(yīng)的圖形是圓C被直線y=2x-1截得的弓形
∵點C到直線y=2x-1的距離d==1
∴A∩B對應(yīng)的弓形圓心角為θ，滿足cos=，解得θ=
因此，A∩B對應(yīng)圖形的面積為S=-×2×2sin=
故答案為：
點評：本題給出拋物線運動形成的軌跡區(qū)域，求該區(qū)域與以（，-1）為圓心半徑為2的圓相交形成的弓形面積，著重考查了直線與圓的方程、直線與拋物線和圓的位置關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線和弓形面積的求法等知識，屬于中檔題．