Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）證明：M是側(cè)棱SC的中點；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角

分析：（Ⅰ）作ME∥CD交SD于點E，連結(jié)AE，作MF⊥AB，垂足為F，則AFME為矩形，由此利用已知條件能推導(dǎo)出M為側(cè)棱SC的中點．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出△ABM為等邊三角形．取AM中點G，連結(jié)BG，取SA中點H，連結(jié)GH，能求出∠BGH為二面角S-AM-B的平面角，由此能求出二面角S-AM-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：作ME∥CD交SD于點E，則ME∥AB，ME⊥平面SAD，
連結(jié)AE，則四邊形ABME為直角梯形，
作MF⊥AB，垂足為F，則AFME為矩形，
設(shè)ME=x，則SE=x，AE=

ED2+AD2

=

(2-x)2+2

，
MF=AE=

(2-x)2+2

，F(xiàn)B=2-x，
由MF=FB•tan 60°，得

(2-x)2+2

=

3

(2-x)，
解得x=1，即ME=1，
從而ME=

1

2

DC，
∴M為側(cè)棱SC的中點．
（Ⅱ）解：MB=

BC2+MC2

=2，
又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM為等邊三角形．
又由（Ⅰ）知M為SC中點，SM=

2

，SA=

6

，AM=2，
∴SA²=SM²+AM²，∠SMA=90°，
取AM中點G，連結(jié)BG，取SA中點H，連結(jié)GH，
則BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH為二面角S-AM-B的平面角，
連結(jié)BH，在△BGH中，
BG=

3

2

AM=

3

，GH=

1

2

SM=

2

2

，BH=

AB2+AH2

=

22

2

，
∴cos∠BGH=

BG2+GH2-BH2

2BG•GH

=-

6

3

．
∴二面角S-AM-B的余弦值為-

6

3

．

點評：本題考查點為線段中點的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．