Question

已知三點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F₁、F₂關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，設(shè)出所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，代入求解即可．
解答：解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（a＞b＞0），
其半焦距c=6

∴，b²=a²-c²=9．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）點(diǎn)P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）．
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由題意知，半焦距
c₁=6，
，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力．屬于中檔題．