Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)的和為S_n，且S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（1）求q³的值；
（2）求證：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，得S₃+S₆=2S₉，然后考慮當(dāng)q=1時關(guān)系式不成立，所以當(dāng)q不等于1時，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡此等式，根據(jù)q不等于1，利用換元法即可求出q³的值；
（2）由q³的值分別表示出a₈和a₅，然后分別求出a₈-a₂和a₅-a₈的值，得到兩者的值相等即可得證．
解答：解：（1）由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，得S₃+S₆=2S₉，
若q=1，則S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁，
由a₁≠0得S₃+S₆≠2S₉，與題意不符，所以q≠1．
由S₃+S₆=2S₉，得．
整理，得q³+q⁶=2q⁹，由q≠0，1，
設(shè)t=q³，則2t²-t-1=0，解得t=1（舍去）或t=-，
所以；
（2）由（1）知：，
則a₈-a₂=a₅-a₈，
所以a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道中檔題．