已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,Sn=2an-1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n•an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)若數(shù)列{cn}滿足cn=3n+2(-1)n-1λan(λ為非零常數(shù)),確定λ的取值范圍,使n∈N*時,都有cn+1>cn
考點:數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)條件轉(zhuǎn)化為2•3n+(-1)nλ3•2n>0,分類討論,即可確定λ的取值范圍.
解答: 解:(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=2a1-1,∴a1=1.
當(dāng)n>1時,Sn=2an-1,∴Sn-1=2an-1-1,
∴Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴an=2an-2an-1,
∴an=2an-1,
∴{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,∴an=2n-1,n∈N*
(2)bn=2n•an=n•2n
2Tn=1•2+2•22+…+n•2n,①
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1,②
①-②,得-Tn=22+23+…+2n-n•2n+1
=(1-n)•2n+1-2,
∴Tn=(n-1)•2n+1+2.
(3)∵Cn=3n+2•(-1)n+1λ2n-1=3n+(-1)n+1λ2n
∴Cn+1>Cn即  3n+1+(-1)nλ2n+1>3n+(-1)nλ2n
即3n+1-3n+(-1)nλ2n+1-(-1)n-1λ2n>0
即2•3n+(-1)nλ(2n+1+2n)>0
即2•3n+(-1)nλ3•2n>0
∴(-1)nλ>
-2•3n
3•2n
即(-1)nλ>-(
3
2
)n-1
…(8分)
當(dāng)n為偶數(shù)時-(
3
2
)n-1
-
3
2
,∴λ>-
3
2
…(10分)
當(dāng)n為奇數(shù)時-(
3
2
)n-1
-1,∴-λ>-1
即 λ<1
又∵λ≠0
-
3
2
<λ<1
且λ≠0…(12分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的前n項和的求法,解題時要認真審題,注意錯位相減法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又PA=AB=4,∠CDA=120°.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求二面角D-PC-B的余弦值.

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某學(xué)校為響應(yīng)省政府號召,每學(xué)期派老師到各個民工子弟學(xué)校支教,以下是該學(xué)校50名老師上學(xué)期在某一個民工子弟學(xué)校支教的次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果:
支教次數(shù)0123
人數(shù)5102015
根據(jù)上表信息解答以下問題:
(1)從該學(xué)校任選兩名老師,用η表示這兩人支教次數(shù)之和,記“函數(shù)f(x)=x2-ηx-1在區(qū)間(4,5)上有且只有一個零點”為事件A,求事件A發(fā)生的概率P1;
(2)從該學(xué)校任選兩名老師,用ξ表示這兩人支教次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

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在△ABC中,BC=a,AC=b,不等式x2-2
3
x+2≤0的解集為{x|a≤x≤b},且2cos(A+B)=1.求:
(1)角C的度數(shù);        
(2)AB的長度.

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已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足:bn=2n•an,且{bn}的前n項和記為Tn
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)證明:對任意n∈N*,Tn≥2恒成立.

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某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競賽學(xué)生成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如圖所示,據(jù)此解答如下問題:

(1)求參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)n及分數(shù)在[80,90),[90,100]之間的人數(shù);
(2)若要從分數(shù)在[80,100]之間的學(xué)生中任選兩人進行某項研究,求至多有一人分數(shù)在[80,90)之間的概率.

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已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,2),且和直線3x+4y-9=0相切.
(1)求圓C的方程;
(2)是否存在實數(shù)a,使圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點,且滿足∠AOB=90°.若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b,a,b∈R的圖象記為曲線E,過一點A(
1
2
,-
3
8
)作曲線E的切線,這樣的切線有且僅有兩條.
(Ⅰ)求a+2b的值;
(Ⅱ)若點A在曲線E上,對任意的x∈[0,1],求證:f(x)+|a+3b+1|+
1
2
≥0.

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點M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q,若△PQM是銳角三角形,則橢圓離心率的取值范圍是
 

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