Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=2ⁿ•a_n，且{b_n}的前n項和記為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）證明：對任意n∈N^*，T_n≥2恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求數(shù)列{a_n}的通項公式，根據(jù)b_n=2ⁿ•a_n，可得{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：當n=1時，a₁=S₁=1；…（1分）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1．…（3分）
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（4分）
∴bn=(2n-1)•2n，n∈N^*…（6分）
（2）證明：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
即Tn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n------------①
①×2：2Tn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-1)•2n+1-----------------②
①-②：-Tn=21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)2n+1=2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
=2 +2

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)2n+1=（6-4n）2ⁿ-6…（10分）
∴Tn=(4n-6)2n+6，
∵T_n隨著n的增大而增大，∴T_n≥T₁=2，
∴T_n≥2，對任意n∈N^*恒成立．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題．