Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+2x．
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導數(shù)，得f'（x）=x²-2ax+2，計算出根的判別式△=4a²-8，然后根據(jù)-

2

≤a≤

2

時和a≤-

2

或a≥

2

時兩種情況加以討論，得到導數(shù)在各個區(qū)間上的正負，即可得到f（x）在各種情況下的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可得當-

2

≤a≤

2

時，顯然滿足條件f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；當a≤-

2

或a≥

2

時，解不等式a+

a2-2

≤1，可得a≤-

2

．由此即可得到符合題意的實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+2x，
∴f'（x）=x²-2ax+2
①當4a²-8≤0時，即-

2

≤a≤

2

時，f'（x）≥0恒成立，可得f（x）在R上是增函數(shù)，
②當a≤-

2

或a≥

2

時，f'（x）=0的根是x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，
∵當x＜a-

a2-2

或x＞a+

a2-2

時，f'（x）＞0；當a-

a2-2

＜x＜a+

a2-2

時，f'（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，a-

a2-2

）和（a+

a2-2

，+∞）；減區(qū)間是（a-

a2-2

，a+

a2-2

）；
（2）由（1）可得
①當-

2

≤a≤

2

時，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，符合題意；
②當a≤-

2

或a≥

2

時，由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得a+

a2-2

≤1，解之得a≤-

2

．
綜上所述，可得實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

2

]．

點評：本題給出三次多項式函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并討論在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的問題．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母的二次式的討論等知識，屬于中檔題．