Question

(本小題滿分14分)

 已知數(shù)列，滿足，其中.

（Ⅰ）若，求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，且.

（�。┯�，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次. 求應(yīng)滿足的條件.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）當時，有

 …………2分

.                              ………………3分

又因為也滿足上式，所以數(shù)列的通項為.………………4分

（Ⅱ）由題設(shè)知：，對任意的有得，

                 于是又，   故 ………………5分

   ∴，，

（�。�

，

所以數(shù)列為等差數(shù)列.       ………………7分

（ⅱ）設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.                    ………………9分

設(shè)，

（其中，為中的一個常數(shù)），

當時，對任意的有；                 ………………10分

由知；此時重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.

當時，

………………11分

①若，則對任意的有，所以數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；

②若，則對任意的有，所以數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；

………………12分

 均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多各出現(xiàn)一次，

即數(shù)列中任意一項的值最多出現(xiàn)六次.

綜上所述：當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.

當時，數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次. ………14分