Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為a．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若p，q，r為正實數(shù)，且p+q+r=a，求證：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

考點：不等式的證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：不等式的解法及應用,推理和證明

分析：（Ⅰ）利用絕對值不等式的幾何意義可得f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，從而可得a的值；
（Ⅱ）利用重要不等式p²+q²≥2pq，p²+r²≥2pr，q²+r²≥2qr，可得3（p²+q²+r²）≥p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）²=3²=9，于是可證的結論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴f（x）_min=3，即a=3．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，a=3，
因為p²+q²≥2pq，p²+r²≥2pr，q²+r²≥2qr，
∴2（p²+q²+r²）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p²+q²+r²）≥p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）²=3²=9，
∴p²+q²+r²≥3．

點評：本題考查絕對值不等式的性質(zhì)及應用，著重考查重要不等式的應用，考查推理證明的能力，考查轉化思想．