Question

已知點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A（-2，0）、B（0，2）、C（a，0）（a＞0），設(shè)△AOB和等腰直角△COD的外接圓的圓心分別為M、N．
（1）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；
（2）若直線AB截圓N所得的弦長(zhǎng)為4，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由已知

F=0 4-2D+F=0 4+2E+F=0

，得圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，設(shè)直線CD的方程為x+y-a=0，由此能求出直線CD的方程．
（2）由已知得，直線AB的方程為x-y+2=0，由此利用點(diǎn)到直線距離公式能注出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A（-2，0）、B（0，2），
∴圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，D²+E²-4F＞0，
∴

F=0 4-2D+F=0 4+2E+F=0

，解得D=2，E=-2，F(xiàn)=0，
∴圓M的方程為x²+y²+2x-2y=0．
即圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
又△COD為等腰直角三角形，C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∴直線CD的方程為x+y-a=0
∵⊙M與直線CD相切，∴圓心M到直線CD的距離d=

|-a|

2

=

2

，
解得a=2或a=-2（舍）．
∴直線CD的方程為x+y-2=0．
（2）由已知得，直線AB的方程為x-y+2=0，
圓心N的坐標(biāo)為（

a

2

，

a

2

）．
∴圓心N到直線AB的距離為

2

2

=

2

．
∵直線AB截⊙N所得的弦長(zhǎng)為4，
∴2²+（

2

）²=

a2

2

．
解得a=2

3

或a=-2

3

（舍），
∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-

3

）²+（y-

3

）²=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．