Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得和的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

．         
因?yàn)閒′（1）=0，f（1）=-2，所以切線方程為 y=-2．                                     
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a＞0時，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

．          
①a＞2時，令f′（x）＞0，可得x＞

1

2

或0＜x＜

1

a

；令f′（x）＜0，可得

1

a

＜x＜

1

2

；
②a=2時，f′（x）≥0恒成立；
③0＜a＜2時，令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

或0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜

1

a

；
④a≤0時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

2

；令f′（x）＜0，可得x＞

1

2

；
∴a＞2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

），（0，

1

a

）；單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，

1

2

）；a=2時，f（x）在（0，+∞上單調(diào)遞增；0＜a＜2時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

1

a

，+∞），（0，

1

2

）；單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，

1

a

）；a≤0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2

）；單調(diào)減區(qū)間是（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．