Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f(x)=

log 1 2 (x+1)，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零點之和為（　�。�

• A、2^a-1
• B、2^-a-1
• C、1-2^-a
• D、1-2^a

Answer 1

分析：函數(shù)F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零點轉(zhuǎn)化為：在同一坐標系內(nèi)y=f（x），y=a的圖象交點的橫坐標．作出兩函數(shù)圖象，考查交點個數(shù)，結合方程思想，及零點的對稱性，為計算提供簡便．

解答：解：當-1≤x＜0時?1≥-x＞0，x≤-1?-x≥1，又f（x）為奇函數(shù)
∴x＜0時，f(x)=-f(-x)=

-log 1 2 (-x+1)，x∈[-1，0) -1+|-x-3|，x∈(-∞，-1]

畫出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的圖象，
如圖
共有5個交點，設其橫坐標從左到右分別為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則

x1+x2

2

=-3，

x4+x5

2

=3，而-log

1

2

(-x3+1)=a?log₂（1-x₃）=a?x₃=1-2^a，
可得x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a，
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)零點知識，考查函數(shù)與方程，數(shù)形結合的思想，準確畫好圖，把握圖象的對稱性是關鍵．