Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0)，離心率為

6

3

，離心率為

6

3

，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知向量

OB

=（0，-1），是否存在斜率為k（k≠0）的直線l．l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，使向量

BM

與向量

BN

的夾角為60°，且|

BM

|=|

BN

|？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

+1(a＞b＞0)，由一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0)，離心率為

6

3

，離心率為

6

3

，可得c=

2

，

c

a

=

6

3

，b²=a²-c²，解出即可．
（2）假設(shè)存在斜率為k（k≠0）的直線l：y=kx+m．l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，使向量

BM

與向量

BN

的夾角為60°，且|

BM

|=|

BN

|．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)E（x₀，y₀）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，△＞0，解得1+3k²＞m²．由BE⊥MN，可得k_BE•k_MN=-1，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得1+3k²=2m．利用弦長公式可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得|BE|=

|1+m|

1+k2

．由向量

BM

與向量

BN

的夾角為60°，|

BM

|=|

BN

|．可得△BMN為等邊三角形．利用|BE|=

3

2

|MN|，即可解出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

+1(a＞b＞0)，
∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0)，離心率為

6

3

，離心率為

6

3

，
∴c=

2

，

c

a

=

6

3

，解得c=

2

，a=

3

，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）假設(shè)存在斜率為k（k≠0）的直線l：y=kx+m．l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，使向量

BM

與向量

BN

的夾角為60°，且|

BM

|=|

BN

|．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)E（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+3y2=3

．化為（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
△＞0，解得1+3k²＞m²．
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．
∵BE⊥MN，
∴k_BE•k_MN=

-1- m 1+3k2

0- -3km 1+3k2

×k=-1，
化為1+3k²=2m．
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2m2 (1+3k2)2 - 4(3m2-3) 1+3k2 ]

=

2 3 (1+k2)(1+3k2-m2)

1+3k2

，
|BE|=

|1+m|

1+k2

．
∵向量

BM

與向量

BN

的夾角為60°，|

BM

|=|

BN

|．
∴△BMN為等邊三角形．
∴|BE|=

3

2

|MN|，
∴

|1+m|

1+k2

=

3

2

×

2 3 (1+k2)(1+3k2-m2)

1+3k2

，
把k2=

2m-1

3

代入化為：m=1．
解得k=±

3

3

．滿足△＞0．
∴直線l的方程為：y=±

3

3

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．