Question

f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函數(shù)g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，則M+m=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的特征，構(gòu)造與f（x）、g（x）相關(guān)的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的圖象對(duì)稱性，得到相應(yīng)的最值關(guān)系，從而得到g（x）的最大值M與最小值m的和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，
∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2015，f（0）=-2015，
取y=-x，得到：f（0）=f（x）+f（-x）+2015，
∴f（x）+f（-x）=-4030．
記h（x）=f（x）+sin2015x+2015，
則h（-x）+h（x）=[f（-x）+sin（-x）+2015]+f（x）+sin2015x+2015
=f（x）+f（-x）+4030=-4030+4030=0，
故y=h（x）為奇函數(shù)．
記h（x）的最大值為A，則最小值為-A．
∴g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M=A-2015和最小值m=-A-2015，
則M+m=A-2015+（-A-2015）=-4030，
故答案為：-4030．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用，還考查了抽象函數(shù)和構(gòu)造法，根據(jù)條件構(gòu)造奇函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．