Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點M(

2

，1)，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=λ，證明：點Q的軌跡與λ無關．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)離心率求得c，a的關系，則根據(jù)a，b和c的關系求得b，則橢圓的方程可得；
（Ⅱ）先設點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．又P，A，Q，B四點共線，可得

PA

=-λ

AQ

，

PB

=λ

BQ

(λ≠0，±1)結(jié)合A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，得到2x+y-2=0最后根據(jù)點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點Q的軌跡與λ無關．

解答：解（Ⅰ）由題意解得a²=4，b²=2，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．
又P，A，Q，B四點共線，可得

PA

=-λ

AQ

，

PB

=λ

BQ

(λ≠0，±1)，
于是x1=

4-λx

1-λ

，y1=

1-λy

1-λ

（1）x2=

4+λx

1+λ

，y2=

1+λy

1+λ

（2）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點Q的軌跡與λ無關．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．