Question

已知g（θ）=

cos(-θ- π 2 )•sin( 7π 2 +θ)

sin(2π-θ)

．
（1）化簡g（θ）；
（2）若g（

π

3

+θ）=

1

3

，θ∈（

π

6

，

7π

6

），求g（

5π

6

+θ）的值；
（3）若g（

3

2

π-θ）-g（θ）=

1

3

，θ∈（-

π

2

，

π

2

），求g（θ）-g（

π

2

-θ）的值．

Answer 1

考點：運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）g（θ）解析式利用誘導公式化簡，整理即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）確定的解析式，由已知等式求出cos（

π

3

+θ）的值，進而求出sin（

π

3

+θ）的值，原式化簡后將sin（

π

3

+θ）的值代入計算即可求出值；
（3）由（1）確定的解析式，根據(jù)題意等式求出sinθ+cosθ的值，進而求出sinθ-cosθ的值，原式化簡后將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）g（θ）=

cos(θ+ π 2 )sin(4π- π 2 +θ)

sin(-θ)

=

-sinθ(-cosθ)

-sinθ

=-cosθ；
（2）∵θ∈（

π

6

，

7π

6

），∴

π

3

+θ∈（

π

2

，

3π

2

），
∵g（

π

3

+θ）=-cos（

π

3

+θ）=

1

3

，即cos（

π

3

+θ）=-

1

3

，
∴當

π

3

+θ∈（

π

2

，π）時，g（

5π

6

+θ）=-cos（

5π

6

+θ）=-cos（

π

2

+

π

3

+θ）=sin（

π

3

+θ）=

1-cos2( π 3 +θ)

=

2 2

3

；
當

π

3

+θ∈（π，

3π

2

），g（

5π

6

+θ）=-cos（

5π

6

+θ）=-cos（

π

2

+

π

3

+θ）=sin（

π

3

+θ）=-

1-cos2( π 3 +θ)

=-

2 2

3

；
（3）由g（

3

2

π-θ）-g（θ）=

1

3

，得：-cos（

3

2

π-θ）+cosθ=

1

3

，
整理得：sinθ+cosθ=

1

3

，
兩邊平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

9

，即2sinθcosθ=-

8

9

＜0，
∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cosθ＞0，sinθ＜0，即sinθ-cosθ＜0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

17

9

，
則原式=-cosθ+cos（

π

2

-θ）=-cosθ+sinθ=

17

3

．

點評：此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關(guān)鍵．