Question

已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動點，若將點P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴大到倍后得到點Q（x，）滿足．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足，又點H關(guān)于原點O的對稱點為點G，試問四點M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用，即可得到動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）假設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識，確定M，N，G，H的坐標(biāo)，進而確定點到四點的距離相等，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）依據(jù)題意，有，
∵，
∴x²-1+2y²=1．
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是．
（2）因直線l過點B，且斜率為k=-，故有l(wèi)：y=-．
聯(lián)立方程組，得2x²-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=．
又，點G與點H關(guān)于原點對稱，
于是，可得點H（-1，-）、G（1，）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有l(wèi)₁：y-=（x-），l₂：．
聯(lián)立方程組，解得l₁和l₂的交點為O₁（，-）．
因此，可算得|O₁H|==，|O₁M|==．
所以，四點M、G、N、H共圓，圓心坐標(biāo)為O₁（，-），半徑為．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查四點共圓，正確運用向量知識，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵．