Question

冪函數(shù)f（x）=x^α過點（2，4），求出f（x）的解析式并用單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：欲求函數(shù)f（x）的解析式，由于已知兩函數(shù)是冪函數(shù)，故可用待定系數(shù)法設(shè)出兩函數(shù)的解析式，代入點的坐標(biāo)求出函數(shù)的解析式．由定義進(jìn)行證明即可，取0＜x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
解答：解：由冪函數(shù)f（x）=x^α過點（2，4），得
4=2^α⇒α=2
f（x）=x² ；
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=x₁²-x₂²
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）
∵x₁，x₂，∈（，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（，+∞）上為增函數(shù)．
點評：本題考查冪函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，且能根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行運算，本題考查到了函數(shù)的單調(diào)性的證明方法定義法，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．