Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（3）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4，由向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到
（1）、（2）、（3）的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4×2×cos120°=-8×$\frac{1}{2}$=-4，
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=16-2×4+4=12；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{16+4-2×4}$=2$\sqrt{3}$；
（3）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{9×16+24×4+16×4}$=4$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．