Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣2x+1． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a≤ 時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得f'（x）=x2+x﹣2=（x+1）（x﹣2），

令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=1，f（x），f'（x）的情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，1）．

（Ⅱ）由 可得 ．

當(dāng)﹣a＜﹣2即 時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，﹣2）和（1，a]上單調(diào)遞增，在（﹣2，1）上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為max{f（﹣2），f（a）}，

又由（Ⅰ）可知 ，

所以 ；

當(dāng)﹣a≥﹣2，a≤1，即0＜a≤1時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，a]上單調(diào)遞減，f（x）在[﹣a，a]上的最大值為 ．

當(dāng)﹣2≤﹣a，a＞1，即1＜a≤2時(shí)，由（Ⅰ）可得f（x）在[﹣a，1）上單調(diào)遞減，在（1，a]上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為max{f（﹣a），f（a）}，

法1：因?yàn)? ，

所以 ．

法2：因?yàn)椹?≤﹣a＜﹣1，1＜a≤2

所以由（Ⅰ）可知 ， ，

所以f（﹣a）＞f（a），

所以 ．

法3：設(shè) ，則g'（x）=﹣2x2+4，g（x），g'（x）的在[1，2]上的情況如下表：

x	1				2
f'（x）		+	0	﹣
f（x）		↗	極大	↘

所以，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g（x）＞g（0）=0，

所以g（a）=f（﹣a）﹣f（a）＞0，即f（﹣a）＞f（a）

所以max{f（﹣a），f（a）}=f（﹣a）= ．

綜上討論，可知：

當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為 ；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為

【解析】（Ⅰ）由 ，得f'（x）=x2+x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=1，f（x），f'（x）的情況列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）由 ，得 ．求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為max{f（﹣2），f（a）}，由 ，知 ；再求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值為max{f（﹣a），f（a）}，max{f（﹣a），f（a）}=f（﹣a）= ．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣a，a]上的最大值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．