Question

【題目】某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”海選，規(guī)定：成績(jī)大于或等于90分的具有參賽資格．某校有800名學(xué)生參加了海選，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間[30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（Ⅱ）若大賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽．已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為 ，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，成績(jī)?cè)赱90，110）之間的頻率為

1﹣20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，

0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，

故所求獲得參賽資格的人數(shù)為800×0.65=520；

（Ⅱ）設(shè)甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率為p，則（1﹣p）2= ，

∴p= ，

甲在初賽中答題個(gè)數(shù)X的所有取值為3，4，5；

則P（X=3）= + = ；

P（X=4）= + = ；

P（X=5）= = ；

故X的分布列為：

X	3	4	5
P

數(shù)學(xué)期望為E（X）=3× +4× +5× = ．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)圖表求出成績(jī)?cè)赱90，110）之間的頻率，頻率乘以800就得出獲得參賽資格的人數(shù)。（Ⅱ）由題意利用伯努利概型求出甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的概率，列表即得X的分布列，再根據(jù)方差的定義求出即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．