Question

函數f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為g（a），a∈R，
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=，求a及此時f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用同角三角函數間的基本關系化簡函數解析式后，分三種情況：①小于-1時②大于-1而小于1時③大于1時，根據二次函數求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一問的g（a）的第二和第三個解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．
解答：解：（1）f（x）=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2cos²x-2acosx-1-2a
=2（cosx-）²--2a-1．
若＜-1，即a＜-2，則當cosx=-1時，f（x）有最小值g（a）=2（-1-）²--2a-1=1；
若-1≤≤1，即-2≤a≤2，則當cosx=時，f（x）有最小值g（a）=--2a-1；
若＞1，即a＞2，則當cosx=1時，f（x）有最小值g（a）=2（1-）²--2a-1=1-4a．
∴g（a）=
（2）若g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=．
由a=-1或a=-3（舍）．由a=（舍）．
此時f（x）=2（cosx+）²+，得f（x）_max=5．
∴若g（a）=，應a=-1，此時f（x）的最大值是5．
點評：考查學生會利用二次函數的方法求三角函數的最值，要求學生掌握余弦函數圖象的單調性．