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【題目】已知點為橢圓上一點，其中為橢圓的離心率，橢圓的長軸長是短軸長的兩倍．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知，（均不與點重合）是該橢圓上關于原點對稱的兩點，當的面積最大時，求直線的方程．

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）將代入，得，橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，可得，聯(lián)立方程，即可求得答案；

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，的面積為1. 當直線的斜率存在時，設其方程為，代入，求得，根據點到直線距離公式求得點到直線的距離，結合均值不等式，即可求得答案.

（1）將代入，

得，即，

從而得.

又橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，

，

由，得，

故橢圓的方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，

易得的面積為1.

②當直線的斜率存在時，設其方程為，代入

并化簡得，得，

.

由（1）易得，所以，

點到直線的距離.

.

記，則有，

當且僅當，即時取等號.

故當的面積最大時，直線的方程為.

練習冊系列答案
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【題目】從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數字不大于第二張卡片的概率是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果，選50名患者服藥一段時間后，記錄了這些患者的生理指標和的數據，并統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表（不完整）：

合計

12

36

7

合計

其中在生理指標的人中，設組為生理指標的人，組為生理指標的人，他們服用這種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：

組：10，11，12，13，14，15，16

組：12，13，15，16，17，14，25

（Ⅰ）填寫上表，并判斷是否有95%的把握認為患者的兩項生理指標和有關系；

（Ⅱ）從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率．

附：，其中．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知為坐標原點，，，，若.

⑴ 求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

⑵ 將函數的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數在上的最小值．

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【題目】已知各項均為正數的數列的前n項和為，，且對任意n，恒成立.

（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（2）設，已知，，(2＜i＜j)成等差數列，求正整數i，j.

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【題目】（本小題滿分14分）已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點，．

（1）求圓的圓心坐標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線 與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

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【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（ ）

A.8πB.9πC.10πD.11π

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（1）討論的單調性；

（2）當時，對任意的，都有成立，求的取值范圍．

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【題目】已知函數.

（1）討論在上的單調性；

（2）當時，求在上的零點個數.

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