Question

若函數(shù)f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，則函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象總長為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，分段討論，求出函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上各段的解析式，畫出函數(shù)的圖象，進而可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，
當x∈[0，

1

4

]時，f（x）∈[0，

1

2

]，g（x）=f（f（x））=2×2x=4x，
當x∈（

1

4

，

1

2

]時，f（x）∈（

1

2

，1]，g（x）=f（f（x））=2-2×2x=2-4x，
當x∈（

1

2

，

3

4

）時，f（x）∈（

1

2

，1），g（x）=f（f（x））=2-2×（2-2x）=4x-2，
當x∈[

3

4

，1]時，f（x）∈[0，

1

2

]，g（x）=f（f（x））=2×（2-2x）=4-4x，
故函數(shù)g（x）=f（f（x））在[0，1]上的圖象如圖所示：

其長度為：4

12+( 1 4 )2

=

17

，
故答案為：

17

．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)分段處理，是解答分段函數(shù)的基本思路，也是分類討論思想最好的印證．